Els reptes mentals més divertits i útils de les mates. Des d’aprendre a regatejar fins a mesurar l’alçada d’un arbre amb un bastó curt passant per l’efecte papallona o pel pluviòmetre domèstic. I n’hi ha un que permet jugar fins a la fi del món.
Pensar et pot salvar la vida. De jove, Jaume Vilalta va anar a una expedició a l'Himàlaia i es va perdre. En entrar en un petit regne li va sortir al pas un soldat que el va portar davant del rei. "Has gosat entrar al meu regne – li va dir -i per això mereixes morir, però com que has estat capaç d’arribar fins aquí, et donaré una oportunitat”.
El rei el va dur fins a les portes d’una torre. “Has de triar una d’aquestes dues portes. Una du directament al patíbul i l'altra, a la salvació.” El rei va posar un guardià davant de cada porta. “Un d’aquests guardians sempre diu la veritat i l’altre sempre menteix. Et deixaré fer una sola pregunta i només a un dels dos soldats.” I amb to amenaçador, va afegir...“Si en fas més d’una, de pregunta, els mateixos guàrdies et mataran al moment.” Podia jugar-se la vida a cara o creu, o bé plantejar-se la situació, amb serenitat, com un problema matemàtic... Va sobreviure gràcies al seu coneixement dels operadors lògics. Al cap d’un temps va fer un viatge a Suïssa i en tornar va rebre un requeriment d’Hisenda. El presentador del “Quèquicom” assegura que no es tractava d’una fuga de capitals, sinó d’una sortida didàctica per tractar problemes relacionats amb el sistema binari, la recursivitat, les potències i els percentatges, però de moment no ha pogut justificar la procedència d’una gruixuda cadena d’or pur.




Baules binàries
Vaig arribar a un gran hotel suís amb una reserva d'una setmana a pensió completa.
A l'hora de registrar-m’hi, vaig descobrir que m'havia descuidat la cartera.
Va baixar el director i li vaig dir que no patís, que abans d’una setmana rebria la cartera i tindria diners de sobres.
Malgrat el meu bon aspecte, l'hoteler... em va dir que “desolé”..., però que no es fiava de mi i em va demanar una garantia.
Com que no li feien el pes ni el meu rellotge Trolex ni les esclaves, vaig haver de treure el Cristo gros: la meva cadena de set baules.
Ja se la quedava, però li vaig dir que jo tampoc me'n fiava, d'ell, i li vaig dir que li deixaria una baula per dia fins al setè dia, que em portarien els diners.
El problema era que si tallava totes les baules, perdria molt d'or en llimadures.
Podria tallar una baula sí i una no, de tal manera que només n’hauria de tallar tres.
Però potser hi ha una solució més bona.
Podríeu dir quin és el nombre mínim de baules a tallar i quines?
La solució és tallar només una baula i no qualsevol. Ha de ser la tercera.
I si no agrada la tercera, la quarta.
El que és important és que quedi una baula lliure, un tram de dues baules i un altre fragment de quatre baules.
El primer dia, li deixo una baula.
El segon dia, li deixo el tram de 2 baules i recupero la primera.
El tercer dia hi sumo una baula.
El quart dia recupero aquestes tres i li deixo la tira de 4 baules.
El cinquè dia, què faré? Senzill, li aporto la baula solta.
El sisè dia, en trec una i n’hi poso dos…
I el setè, mentre no arribi la cartera, les he de posar totes sobre la taula.
El paio es va quedar de pedra.
Monsieur, és que la tria no és fortuïta! -li vaig dir-. C’est le système binaire! Són les potències de dos que s’usen per als nombres binaris.
Ara el tinc de client.


Un regateig proporcional
Mirem el cas d’un regateig en un mercat. Pensem a comprar un objecte i demanem el preu. Si em demanen 20 € i jo ofereixo 10 €, estic oferint el 50% del preu original. Però el venedor, després de fer el regateig, acaba acceptant una oferta de 15 €.
Són 5 € més barats que el preu original, però qui dels dos hi ha perdut més amb aquesta oferta, que sembla salomònica?
El venedor ha abaixat 5 € el preu original, de 20 €, el que suposa un 25% de descompte final. Nosaltres havíem ofert 10 € i hem hagut d’apujar fins als 15 €, és a dir, 5 € més, el que teníem pensat. Hem pujat un 50% el nostre pressupost, per la qual cosa podem concloure que som nosaltres els qui hem hagut de fer un esforç més gran per aconseguir l’objecte.



Les recursives torres de Hanoi
Les torres de Hanoi és un joc que va inventar el matemàtic francès Édouard Lucas, el 1883. (Com que es tracta d’un capítol de joc i lògica, el presentador atribueix l’invent a un tal Dr. Claus). Consisteix en una plataforma amb tres pals on n’hi ha un amb una sèrie d’anelles apilades que s’han de fer passar al darrer pal. Per fer-ho, només es pot moure una sola anella cada cop i cap anella pot descansar mai sobre una anella més petita.
Sembla fàcil, però per aconseguir-ho amb només tres peces o anelles, necessitem 7 passos. Si augmentem la quantitat d’anelles, augmentarà la quantitat de moviments que necessitarem. Els passos que es necessiten corresponen a 2 elevat al nombre d’anelles, menys un. La fórmula matemàtica que defineix això és 2n-1.
En el joc de Lucas les torres tenen 64 anelles. I quan algú acabi d’aconseguir-ho, arribarà la fi del món, segons la llegenda. Així que els monjos hauran de fer 2 a la 64, menys un, una xifra molt gran de moviments. 264-1 dona 18.446.744.073.709.551.615 passos, gairebé 18 trilions i mig de moviments. Si necessitem 1 segon per cada moviment (i sense equivocar-nos mai), trigarem 585.000 milions d’anys a acabar-ho, així que sembla que la fi del món encara no arribarà. Almenys, no per culpa de les Torres de Hanoi.



Uns cereals exponencials
Diu la llegenda que un savi hindú va explicar a un ric braman el joc dels escacs. Tan meravellat en va quedar el braman, que va oferir una recompensa al savi.
“Demana’m el que vulguis, la meva riquesa és enorme i el meu agraïment, també”.
“Només us demanaré gra per al meu poble”, va respondre el savi. “Per a la primera casella del taulell em doneu una fava; per a la segona, el doble: dues; a la tercera, el doble: quatre, i així successivament”.
El ric braman es va contrariar. “Tan miserable recompensa em demanes...?! Em sento insultat, has traït la meva generositat i seràs empresonat. Tot i així, compliré la meva oferta i enviaré la misèria que em demanes al teu poble!!”
El seu primer ministre va venir l’endemà i li va dir que no podrien complir les seves ordres ni buidant tots els graners del regne.
La quantitat de grans era enorme: exactament 2 a la 64, menys un.
D’on surt aquesta xifra?
A la primera casella n’hi va un, que és també 2 elevat a zero.
A la segona, el doble, 2, que és 2 elevat a 1 (un).
A la tercera casella, el doble de la segona, dos per dos, quatre, que és 2 elevat a 2.
Per a la quarta, el doble de la tercera, vuit, (2 per 2 per 2), o sigui, 2 elevat a 3.
I així successivament fins a arribar a la casella 64, que serà 2 elevat a 63.
Per què a la 63, si hi ha 64 caselles?
Perquè hem començat amb el zero.
I quant sumen 2 a la 63 amb 2 a la 62 amb 2 a la 61 etc. etc. fins a 2 elevat a zero?
Podem començar a sumar o pensar una mica.
Quant sumen les caselles anteriors a 22? Tres, que és exactament 22, 4, menys un. I quant sumen les caselles anteriors a 2 a la 3? SET, que és exactament 23, 8 menys un.
I si ho fem amb les caselles anteriors a 24 sumaran 15, que és 24 menys un.
Així, doncs, totes les caselles sumaran la casella següent menys un.
És a dir, 2 a la 64-1.
Més de 18 trilions de llavors!!



Les mesures d’un tal Tales
Fa més de 2.500 anys ja sabien mesurar l'alçada d'un arbre sense pujar a una escala.
Això sí. Havia de fer sol.
Només s'ha de comparar la llargària de l'ombra de l'arbre amb la llargària de l'ombra d'una estaca d’una llargària coneguda, posada verticalment.
Ara veurem com ho calculaven.
Suposem que tenim dos triangles que tenen la mateixa forma però diferent mida.
La H representa l’alçada de l’arbre i la O, l’ombra.
La h minúscula correspon a l’alçada de l’estaca i la o minúscula, la seva ombra.
Un matemàtic grec, que es deia Tales, va determinar que els costats del triangles amb els mateixos angles mantenen les proporcions entre si.
Així, doncs, entre aquest dos triangles, la proporció entre el costat H i la seva base O és la mateixa que entre els dos costats equivalents de l’altre triangle.
Aquí ho tenim escrit: “H/O = h/o”.
Tornem al nostre arbre imaginari.
L’estaca, la seva ombra i el raig de llum, formen un triangle.
I com que els raigs del sol arriben paral·lels, els angles d’aquest altre triangle format a partir de l’arbre seran com els del triangle més petit.
Ja podem aplicar el teorema de Tales.
La mida de l’estaca, la sabem.
I també podem mesurar amb facilitat l'ombra de l’arbre a terra.
Doncs bé, la relació entre l’estaca i la seva ombra serà la mateixa que entre l'alçada de l'arbre i la seva ombra.
Simplificant. Si dividim la mida de l'ombra de l'arbre per la mida de l'ombra de l’estaca, sabrem quantes vegades més gran és l’una respecte a l'altra.
I en conseqüència, l'arbre serà el mateix nombre de vegades més gran que l’estaca.
Si, a més, l’estaca fa -casualment- un metre, doncs automàticament la relació entre les dues ombres és l'alçada de l'arbre.
És una aplicació pràctica del teorema de Tales.
I si no fa sol i no hi ha ombra, com podem mesurar l’alçada d’un objecte?
Doncs també la podem mesurar, per exemple, amb dos llapis o bastonets iguals.
Posats a 90º entre si.
I ara mirem-ho de tal manera que la part de baix del llapis enfili al peu de l'arbre
i l'altre extrem, com si fos un punt de mira, apunti al capdamunt de l’objecte que volem mesurar.
Per fer coincidir els dos punts ens haurem d'acostar o allunyar de l'arbre.
Pel mateix principi de Tales, la relació entre el bastonet vertical i l’horitzontal serà la mateixa que entre l'alçada de l'arbre i la distància fins a l'arbre.
Com que els bastonets són iguals entre si, això significa que la distància fins a l'arbre i la seva alçada són iguals.
Mesurem la distància a què ens trobem de l'arbre i en sabrem l’alçada.
Aquesta és la solució.



El pèndol caòtic
El pèndol caòtic és un dels exemples més senzills dels fenòmens que pertanyen a la teoria del caos.
La teoria del caos és una branca de la matemàtica que estudia els fenòmens complexos molt sensibles a petites variacions i que en conseqüència són gairebé impredictibles.
En teoria el seu moviment es pot predir, el regeix un sistema d’equacions diferencials, però és tan inestable que es diu que només que voli una papallona a prop del pèndol ja no hi hauria manera de calcular-lo amb exactitud.
L’efecte papallona descriu com una mínima modificació de només un paràmetre pot fer canviar absolutament l’evolució de grans esdeveniments, com, per exemple, les condicions atmosfèriques. Per això és tan difícil fer la previsió del temps.



Com es mesura la pluja?
Dir que “han plogut 3 litres o 8 litres”, sense dir en quina superfície, seria no dir res. La pluja sempre es mesura en litres per metre quadrat i s’indica el període de temps, generalment per hores.
Podríem construir una piscineta d’un metre quadrat exacte, assegurant-nos que està ben anivellada respecte al terra, esperar la pluja i abocar l’aigua que hi hagi caigut en un recipient calibrat. Seria un pluviòmetre eficaç però poc pràctic. Com el podem simplificar?
Suposem que a la piscineta de metre quadrat hi aboquem 10 litres d’aigua. Mesurarem quin nivell han assolit aquests 10 litres. Amb un regle calibrat veurem que ha pujat 10 mil·límetres. És a dir, que a cada mil·límetre li correspon un litre.
Això es lògic, perquè si volem saber quin volum suposaria un augment d’un mil·límetre només caldria multiplicar la base per l’altura. 100 cm per 100 cm per 0,1 cm, que és un mil·límetre. Total: 1.000 cm cúbics, un litre.
Com que ha plogut exactament igual en qualsevol punt d’aquest metre quadrat, podrem comprovar que el nivell és arreu exactament sempre el mateix. És igual mesurar-ho en litres que en mil·límetres. Cada mil·límetre, un litre.
Si hi haguéssim posat un recollidor més petit, l’alçada de l’aigua seria la mateixa. Sempre hauria pujat els mateixos mil·límetres. Tant se valen la superfície o la forma del recollidor. Així, doncs, el meteoròleg amateur, amb un got que tingui les parets absolutament paral·leles i un regle mil·limetrat, en té prou.



El maquinari va amb binari
Per què els ordinadors treballen en binari, amb només uns i zeros? No sembla més fàcil treballar amb el sistema decimal, en base 10, com fem habitualment?
Per exemple, el número 156 en binari és 10011100. En lloc de tres, s’han d’enviar vuit xifres, vuit bits, però amb un avantatge: aquest sistema facilita la construcció de dispositius electrònics, el número 1 implica que hi ha impuls elèctric i el zero que no n’hi ha.
La base 10 requereix menys guarismes, però també requereix definir deu valors que representin cadascun una quantitat. Tant l’emissor com el receptor han de compartir la mateixa escala de valors i és fàcil confondre’s quan s’ha d’interpretar la informació. En binari, en canvi, només hi ha dues possibilitats: només cal distingir entre dues informacions: la que diu 1 i la que diu 0.
A més, la taula de multiplicar en binari també és més senzilla, només té quatre possibilitats. Això permet fer una màquina de multiplicar amb només dos polsadors: quan no fa contacte és 0; quan sí que fa contacte és 1. Un sistema senzill, clar i eficient. És per això que el maquinari va amb binari.



La lògica o la vida
De jove vaig anar a una expedició a l'Himàlaia i em vaig perdre.
Vaig anar a parar a un petit regne, tan aïllat que encara avui no el sabria trobar al mapa.
En arribar-hi, em va sortir al pas un soldat que em va portar davant del rei.
"Ets un dels pocs occidentals que ha gosat entrar al meu regne -em va dir -
i per això mereixes morir, però com que has estat capaç d’arribar fins aquí, et donaré una oportunitat”. “Has de triar una d’aquestes dues portes. Una du directament al patíbul i l'altra, a la salvació.”
El rei va posar un guardià davant de cada porta.
“Un d’aquests guardians sempre diu la veritat i l’altre sempre menteix. Si ets intel·ligent, potser et salvaràs. Et deixaré fer una sola pregunta i només a un dels dos soldats.”
I amb to amenaçador va afegir...: “si en fas més d’una, de pregunta, els mateixos guàrdies et mataran al moment”.
Podia jugar-me la vida a cara o creu, o bé plantejar-me la situació, amb serenitat, com un problema matemàtic.
Analitzem-ho.
Un guardià és un operador lògic “NOT”. Sempre menteix, o sigui que el cert serà justament el contrari del que digui ell. Si li entra blanc, surt negre...
L'altre guardià és com l’operador lògic “igual.” El que diu és veritat. No altera la informació, si li entra negre, surt negre.
Segons a qui pregunti, tindré un resultat o un altre.
Com que només és pot fer una pregunta, hauré de fer un plantejament que impliqui els dos guàrdies alhora i que, a més, funcioni tant si l’hi pregunto a l’un com a l’altre.
Després de rumiar força vaig triar aquesta pregunta.
“On és la salvació, segons el teu company?”
Salta a la vista que, la faci a qui la faci, els implica a tots dos, però abans de pronunciar-la en veu alta, mirem com funcionaria.
Recordem que jo no sé quin és el fiable ni quin és el mentider...
Si l’hi pregunto al fiable, aquest em dirà la veritat del que dirà el seu company.
I què dirà el seu malvat company? Una mentida. Quan se li pregunta quina és la porta de la salvació senyala sempre la porta de la mort.
Què hauré de fer jo? Triar l’altra.
I el fiable reproduirà fidelment la resposta del seu company i m’assenyalarà la porta de la mort.
Ara bé, què passa si pregunto al mentider: “On és la salvació segons el teu company?”
Vegem-ho.
El fiable assenyalarà quina és la porta de la salvació, i el mentider canviarà la resposta del seu company i assenyalarà la porta de la mort.
Per tant, jo simplement hauré d'obrir l'altra porta.
En tots dos casos he de fer el contrari del que em diguin, ja que té el mateix resultat "la veritat de la negació" que "la negació de la veritat".
Ja ho puc preguntar en veu alta a qualsevol dels dos: On és la salvació segons el teu company?




Fitxa
Director i presentador: Jaume Vilalta
Primera emissió, 15 de gener 2020